Calculo Integral - Matemáticas NM

miércoles, 23 de octubre de 2013

Cinemática: Desplazamiento, Velocidad & Aceleración

Introducción:

La cinemática se relaciona directamente con el cálculo integral.

Desplazamiento.

El desplazamiento efectuado por un móvil sobre la trayectoria es la diferencia entre su posición final y su posición inicial.

∆e = s - s_◦

· Vector desplazamiento: es útil definir un desplazamiento vectorial cuando se describe la posición de un móvil por medio de subvectores de posición.

Si r◦ es el vector de posición del punto P_◦ y r es el vector de posición de P en vector desplazamiento se calcula como:

∆r = r - r_◦

Velocidad media.

La velocidad media escalar de un móvil es el cociente entre el espacio recorrido sobre la trayectoria y el tiempo empleado en ello.

Velocidad media = e / ∆t

· Calculo vectorial: el vector velocidad media o velocidad media vectorial de u móvil es el cociente entre su vector desplazamiento y el tiempo empleado por el móvil.

v = ∆r / ∆t

Velocidad instantánea.

La velocidad instantánea de un móvil es la que posee en un punto de su trayectoria. Este valor numérico se denomina celeridad o rapidez.

Aceleraciones.

La aceleración es la magnitud que indica cuanto cambia la velocidad por unidad de tiempo. Como la velocidad es un vector, su variación puede afectar a su modulo, dirección o ambas cosas.

· Aceleración media: la aceleración media de un móvil en un intervalo de tiempo es la variación de su velocidad en ese tiempo.

a= v - v_◦ / ∆ t

· Aceleración instantánea: es la que posee un móvil en un punto de su trayectoria es el límite ∆v / ∆t de cuando tà0

Fuente: http://platea.pntic.mec.es/pmarti1/educacion/trabajo_glosario/cinematica/cinematica.htm#4

Volúmenes de Revolución

Fuente: http://leidyholguin.files.wordpress.com/2010/09/solidosderevolucion.pdf

domingo, 20 de octubre de 2013

Arquimedes de Siracusa (287 - 212 ANE) resolvió los primeros problemas relativos al (hoy llamado) cálculo integral. En particular, halló el centro de gravedad de un paralelogramo, un triángulo y un trapecio; y de un segmento de parábola. Calculó el área de un segmento de parábola, cortado por una cuerda. Demostró que (a) la superficie de una esfera es 4 veces la de su círculo máximo; (b) el volumen de una esfera es 2/3 del volumen del cilindro circunscripto; (c) la superficie de una esfera es 2/3 de la superficie de este cilindro, incluyendo sus bases. Resolvió el problema de como intersectar una esfera con un plano, de forma de obtenter una proporción dada entre los volúmenes resultantes.

De la biografía de Archimedes of Syracuse en el " MacTutor History of Mathematics archive".

Johannes Kepler (27/12/1571-15/11/1630): casamiento y barriles de vino. Kepler parece haberse casado con su primer esposa, Barbara, por amor (a pesar de que el casamiento fue acordado mediante un intermediario). El segundo casamiento, en 1613, fué una cuestión de necesidad práctica; precisaba alguien para encargarse de sus hijos. La nueva esposa de Kepler, Susana, tuvo un curso acelerado sobre el carácter de Kepler: en la carta dedicatoria al libro de casamiento explica que en la celebración de la boda el notó que los volúmenes de los barriles de vino eran estimados mediante una vara introducida en forma diagonal, por el agujero de la tapa, y comenzó a preguntarse como podría funcionar eso. El resultado fue el estudio de los volúmenes de los sólidos de revolución ( New stereometry of wine barrels ..., Nova sterometria doliorum ...,Linz, 1615) en la cual Kepler, basándose en el trabajo de Arquímedes, utilizó la resolución en `indivisibles'. Este método fue luego desarrollado por Bonaventura Cavalieri (1598 - 1647) y es parte de la historia ancestral del cálculo infinitesimal.

De la biografía de Johannes Kepler en el " MacTutor History of Mathematics archive".

Sir Isaac Newton (4/1/1643 - 31/3/1727) ... en un período de menos de dos años, cuando Newton tenía menos de 25 años, comenzó con avances revolucionarios en matemática, óptica, física, y astronomía. Mientras Newton estaba en casa (debido a una plaga que cerró la Universidad de Cambridge, en la que estudiaba) estableció las bases del cálculo diferencial e integral, varios años antes de su descubrimiento, en forma independiente, por Leibniz. El método de las fluxiones, como él lo llamó, estaba basado en su crucial visión de que la integración de una función era meramente el procedimiento inverso de su derivación. Tomando la derivación como la operación básica, Newton produjo sencillos métodos analíticos que unificaban muchas técnicas diferentes desarrolladas previamente para resolver problemas aparentemente no relacionados como calcular areas, tangentes, longitud de curvas y los máximos y mínimos de funciones. El De Methodis Serierum et Fluxionum de Newton fue escrito en 1671, pero Newton no pudo publicarlo, y no apareció impreso hasta que John Colson produjo una traducción al ingles en 1736.

De la biografía de Isaac Newton en el " MacTutor History of Mathematics archive".

Sobre el número e: El número e se define por la fórmula e=exp(1) donde exp(x) es la función inversa de la función log(x). (El logaritmo se define como la integral en el intervalo [1,x] de la función 1/x.) Se escogió la letra e en memoria del matemático y físico suizo Leonhard Euler (1707-1783), y se llama número de Euler. El número e es un número trascendental; es decir, no se puede expresar como la raíz de ningún polinomio con coeficientes enteros. (La demostración de que e es un número trascendental se debe a Charles Hermitte en 1873.) El valor de e=2.718281828...
de "El Cálculo con Geometría analítica", de Louis Leithold.

Leonard Euler:

Sobre la integral : El término cálculo integral y el propio símbolo de la integral son un invento del matemático suizo Jacob Bernoulli (Basilea 27/12/1654 - 16/8/1705).
De: Los Bernoulli. Geómetras y viajeros. Carlos Sanchez Fernández y Concepción Vladés Castro. Nivola, España.

Jacob Bernoulli:

<<*http://www.cmat.edu.uy/~mordecki/courses/calculo1/notash.html*>>

El Cálculo Integral: Historia & Orígenes

<<*http://historiacalculos.blogspot.com/*>>

El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o antiderivación, es muy común en la ingeniería y en la matemática en general y se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.
Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos.

La integral definida de una función representa el área limitada por la gráfica de la función, con signo positivo cuando la función toma valores positivos y negativo cuando toma valores negativos.

Las derivadas y las integrales tienen diferentes campos de aplicación, pero en este caso en particular, nos referiremos a los beneficios que se obtienen mediante el uso de las integrales, lo cual fue tema de la clase de Cálculo II.
Para llevar a cabo estas aplicaciones, nos valimos del uso de dos herramientas elementales:
* Las integrales definidas y
* El Teorema Fundamental del Cálculo Integral
Al tener el conocimiento necesario sobre estos dos puntos se podrá llevar a cabo cualquiera de las aplicaciones aquí mencionadas, sumado claro, con las reglas individuales de cada caso en mención.

CALCULO INTEGRAL

Los creadores del Análisis Infinitesimal introdujeron el Cálculo Integral, considerando los problemas inversos de sus cálculos. En la teoría de fluxiones de Newton la mutua inversibilidad de los problemas del cálculo de fluxiones y fluentes se evidenciaba claramente. Para Leibniz el problema era más complejo: la integral surgía inicialmente como definida. No obstante, la integración se reducía prácticamente a la búsqueda de funciones primitivas. La idea de la integración indefinida fue inicialmente la dominante.

El Cálculo Integral incluía además de la integración de funciones, los problemas y la teoría de las ecuaciones diferenciales, el cálculo variacional, la teoría de funciones especiales, etc. Tal formulación general creció inusualmente rápido. Euler necesitó en los años 1768 y 1770 tres grandes volúmenes para dar una exposición sistemática de él.

Según Euler el Cálculo Integral constituía un método de búsqueda, dada la relación entre los diferenciales o la relación entre las propias cantidades. La operación con lo que esto se obtenía se denominaba integración. El concepto primario de tal Cálculo, por supuesto, era la integral indefinida. El propio Cálculo tenía el objetivo de elaborar métodos de búsqueda de las funciones primitivas para funciones de una clase lo más amplia posible.

Los logros principales en la construcción del Cálculo Integral inicialmente pertenecieron a J. Bernoulli y después a Euler, cuyo aporte fue inusitadamente grande. La integración llevada por este último hasta sus últimas consecuencias y las cuadraturas por él encontradas, todavía constituyen el marco de todos los cursos y tratados modernos sobre Cálculo Integral, cuyos textos actuales son sólo modificaciones de los tratados de Euler en lo relativo al lenguaje. Estos juicios se confirman con la revisión concreta del famoso Cálculo Integral de Euler y su comparación con los textos actuales.

Aplicaciones del Cálculo Integral

El cálculo integral tiene diversas aplicaciones entre las cuales se encuentran las siguientes:

Área de una región plana
Cambio de variable
Integrales indefinidas
Integrales definidas
Integrales impropias
Integrales múltiples (dobles o triples)
Integrales trigonométricas, logarítmicas y exponenciales
Métodos de integración
Teorema fundamental del cálculo
Volumen de un sólido de revolución

En la vida real, el cálculo integral está definido por varios factores de la cotidianidad. Varias ciencias y áreas de conocimiento albergan al cálculo integral. Por ejemplo:

En la ingenieria automotriz: suponiendo que diseñe una ppieza para la caja de trasmision que hace que el coche corra más, esa pieza tiene una forma irregular y por ente no podremos calcular su volumen por medio de las formas basicas como el de un cubo o piramide, como sabemos toda empresa antes de comenzar a fabricar la pieza debe saber el volumen que tiene, la cantidad de material, peso y la densidad del mismo para hacer uan estimacion de forma de saber que tanto se invertira en cada pieza, bueno el calculo integral nos permite obtener el volumen de esa pieza, la densidad y el peso, mediante calculo multivariable (lo mismo que calculo integral pero con varias variablesde esta forma podre saber todos estos datos sin necesidad de hacer la pieza, de forma rapida y barata.

Otro ejemplo el sistema de posicionamiento global (gps) :

el gps nos ayuda a encontrar la localizacion de un objeto que tenga instalado el sistema con un margend e error de un metro a al redonda, pero este tan bajo margen de error se debe a que gracias a la relatividad de einsten en donde para calcular la velocidad con que tarda en viajar una señal por medio del aire esta dada por una funcion descrita mediante el calculo integral, claro cabe recalcar que einsten para calcular la velocidad de la luz no utiliza el calculo integral pero en los nuevos remodelaciones esta formula se le aplico el calculo integral ya que se sabe que los sistemas tiene un compartameitno de la sumatoria de Riemman y por ente se le aplica el calculo integral para obtener con una precicion de la nienecima parte sobre el retardo de una señal que viaja en el aire.
velocidad de una señal a traves de la red y retardos de entrega de paquetes: otra gran aplicacion es para poder calcular la velocidad de una señal por un cable en una red lan, asi como tambien el tiempo de entrega de paquetes de un ordenador a otro.
en fin si no existiera el calculo integral no existira muchas de las cosas que tenemos o al menos no con la precición con la que conocemos (motores, ropa, microprocesadores, etc.)

<<*http://difrencialcalculo.blogspot.com/p/aplicaciones-en-la-vida-cotidiana.html*>>